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【线性代数-3Blue1Brown】- 2 线性组合、张成的空间与基

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【线性代数-3Blue1Brown】- 2 线性组合、张成的空间与基

飞书用户9535

2023年8月14日创建

课程学习视频：【【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集】 ​

https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E/?p=3&share_source=copy_web&vd_source=f44d7ad8d53ea4221fa9bfdc684473a5

1.
思维导图​

2.
向量坐标​

向量坐标的含义是让我们将每个坐标看作一个标量，x为i方向的标量，y为j方向的标量，即[3,4]看作是[3*i,4*j]​

在此还引入了单位向量的概念，i帽指的是x方向的单位向量，j帽指的是y方向的单位向量，它们也是xy坐标系的“基向量”​

51%

49%

主要此处的基向量与标量的概率尤其重要，表示着两者是分开的，同时“缩放向量且相加”贯穿了整个线性代数的学习。如确定基向量，在只改变标量的情况下，可以获取到所有的向量。​

从几何直观的角度上看，向量就是基向量“缩放”标量。

从数值计算的角度上看，向量就是标量与基向量（单位向量）的乘积，xi+yj。​

3.
线性组合​

线性组合，两个数乘向量的和（二维角度），包含加法和乘法在内。​

50%

“线性”一词的由来即是当固定一个标量，让另一个标量自由变化时，产生的向量的所有结果会连成一条线。​

当两个向量自由变化的时候，可以有三种可能

•
不共线的基向量，可以到达平面上所有的点​

•
共线的基向量，可以到达一条线上所有地方​

•
两个向量都是零向量的情况下，所有结果都是原点​

4.
张成的空间​

两个向量全部的线性组合构成的向量集合（二维角度），将向量想象成一个点，那么所有结果的集合就是在一个平面上​

三个向量全部的线性组合构成的向量集合（三维角度），同理，所有结果的集合就是在一个立体里​

50%

5.
线性相关与无关​

线性相关：移除该向量而不影响向量张成空间，即该向量本身落在其他向量张成空间里​